21 oct. 2010
En 1697, Leibniz a exposé sa conception du « meilleur des mondes possibles »: celui-ci doit maximiser la variété de ses sous-structures, tout en étant le plus probable et le plus symétrique possible.
On verra que le graphe infini aléatoire R (pour « random »), découvert en 1963 par Erdös et Rényi et qu’on peut construire de manière très simple et purement déterministe en prenant pour sommets les nombres premiers congrus à 1 modulo 4, est un modèle d’Univers vérifiant les conditions de Leibniz. En particulier, le graphe R, qui jouit de propriétés tout à fait surprenantes, peut aussi être obtenu, avec une probabilité égale à 1, en partant d’une infinité dénombrable de sommets et en décidant à pile ou face, indépendamment pour chaque paire de sommets, si ceux-ci sont ou non reliés par une arête.
Le graphe R possède également la propriété d’ultrahomogénéité, qui sera définie et illustrée dans l’exposé. On donnera plusieurs exemples récents de classification de structures combinatoires ultrahomogènes (graphes, designs, etc…).
